Question

【題目】已知圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線經(jīng)過點(diǎn)且與垂直，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，求四邊形面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1) . (2)

【解析】

（1）根據(jù)圓心必在圓上兩點(diǎn)連線的中垂線上可知圓心必在軸上，設(shè)圓心，可得半徑，利用圓心到圓上點(diǎn)的距離等于半徑可構(gòu)造方程求得圓心和半徑，從而得到圓的方程；（2）根據(jù)兩直線垂直可求得直線的方程，利用可知當(dāng)四邊形面積最小時(shí)，取最小值；當(dāng)切線長(zhǎng)最小時(shí)，；利用點(diǎn)到直線距離公式和勾股定理可求得的最小值，代入可得面積的最小值.

（1）由橢圓方程得：，，

由圓過可知：圓心必在軸上

設(shè)圓心為，則半徑

，解得： 圓心為，半徑

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）直線與垂直

直線方程為：，即：

且

當(dāng)取最小值時(shí)，最小

又且當(dāng)時(shí)，最小

四邊形面積的最小值為：