Question

若()ⁿ展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.求：

（1）展開式中含ｘ的一次冪的項(xiàng)；

（2）展開式中所有ｘ的有理項(xiàng)；

（3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).

Answer 1

思路解析：首先應(yīng)根據(jù)題意，得到關(guān)于ｎ的方程，解得ｎ的值，然后根據(jù)題目的要求解答每一問(wèn).這三問(wèn)都與二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式有關(guān)，通項(xiàng)為T_r+1=.

解：由已知條件知，解得ｎ=8或ｎ=1（舍去）.

（1）T_r+1=，令4-r=1.解得r=4.

所以ｘ的一次冪的項(xiàng)為T₄₊₁=x.

（2）令4-r∈Z(r≤8)，則只有當(dāng)ｒ=0,4，8時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)才為有理項(xiàng)，有理項(xiàng)分別為：T₁=x⁴;T₅=x;T₉=.

（3）記第ｒ項(xiàng)系數(shù)為t_r，設(shè)第ｋ項(xiàng)的系數(shù)最大，則有：t_k≥t_k+1,且t_k≥t_k-1.

又t_r=·2^-r+1,于是有,即

解得3≤k≤4，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)T₃=7·和第4項(xiàng)T₃=7·x.