Question

設矩陣M對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長3倍，再將縱坐標伸長2倍的兩個伸壓變換的復合，求其逆矩陣M^-1以及
圓x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．

Answer 1

分析：根據已知條件，欲求出矩陣M^-1，可由已知直接寫出M^-1．設橢圓上任意一點（x₀，y₀），變換后的坐標（x₀′，y₀′），根據逆變換公式，知道之間的關系，代入，即可求出新曲線方程．

解答：解：∵矩陣M對應的變換是把坐標平面上的點的橫坐標伸長3倍，再將縱坐標伸長2倍的兩個伸壓變換的復合，
∴逆矩陣M^-1是把坐標平面上的點的縱坐標縮短到

1

2

倍，橫坐標縮短到

1

3

倍的伸壓變換，
∴M-1=

1 2 0 0 1 3

．（5分）
任意選取橢圓 x²+y²=1上的一點P（x₀，y₀），它在矩陣 M-1=

1 2 0 0 1 3

對應的變換下變?yōu)镻'（x₀′，y₀′），則有

.

1 2 0 0 1 3

.

.

x0 y0

.

=

.

x′0 y′0

.

，故

x0=2 x ′ 0 y0=3 y ′ 0

．
又因為點P在橢圓  x²+y²=1上，所以4x₀^'2+9y₀^'2=1．
橢圓  x²+y²=1在M^-1的作用下的新曲線的方程為4x²+9y²=1．

點評：本題主要考查逆矩陣、逆變換及其計算能力，屬于綜合性的問題，計算比較簡單．