Question

在等式cos2x=2cos²x-1的兩邊對(duì)x求導(dǎo)（cos2x）′=（2cos²x-1）′。由求導(dǎo)法則得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化簡(jiǎn)后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），試由等式（x∈R，整數(shù)n≥2）證明：。
（2）對(duì)于整數(shù)，n≥3，求證：
（i）；
（ii）；
（iii）。

Answer 1

解：（1）在等式

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

移項(xiàng)得
   （*）；
（2）（i）在（*）式中，令x=-1
整理得
；
（ii）由（1）知
兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

在上式中令x =-1，得

即
亦即
又由（i）知
由①+②得；
（iii）將等式
兩邊在[0，1]上對(duì)x積分

由微積分基本定理，得

所以。