Question

12．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為3$\sqrt{2}$的正方形，AA₁=3，E是線段A₁B₁上一點(diǎn)，若二面角A-BD-E的正切值為3，則三棱錐A-A₁D₁E外接球的表面積為35π．

Answer 1

分析 過(guò)E作EF∥AA₁．交AB與F，過(guò)F作FG⊥DB于G，則∠EGF就是二面角A-BD-E的平面角，由tan∠EGF=3，可得FG=1，求出三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑即可

解答 解：過(guò)E作EF∥AA₁．交AB與F，過(guò)F作FG⊥DB于G，
則∠EGF就是二面角A-BD-E的平面角，∵tan∠EGF=$\frac{EF}{FG}=3$，
∴FG=1，則BF=$\sqrt{2}$，∴$AF=2\sqrt{2}$，
∴三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑為$\sqrt{8+9+18}=\sqrt{35}$，
∴外接球的表面積為35π．
故答案為：35π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的外接球的表面積，關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)位置，求出半徑，屬于中檔題．