Question

已知曲線C₁:y=x²與C₂:y=-(x-2)²,若直線l與C₁、C₂都相切,求直線l的方程.

Answer 1

分析：設(shè)出直線l與C₁、C₂的切點(diǎn)坐標(biāo),可以分別用一個(gè)參數(shù)來表示,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用斜率相等可求出兩切點(diǎn)的坐標(biāo).

解法一：設(shè)直線l與兩曲線的切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,a²),B(b,-(b-2)²).

因?yàn)閮汕�線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為y₁′=2x,y₂′=-2(x-2)，

所以在A、B兩點(diǎn)處兩曲線的斜率分別為y₁′|_x=a=2a,y₂′|_x=b=-2(b-2).

由題意,可得=2a=-2b+4,

解得

所以A為(2,4)或(0,0),切線的斜率k=4或0,從而得到切線l的方程為y=4x-4或y=0.

解法二：設(shè)l與C₁、C₂的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b,直線l的斜率為k,

根據(jù)題意,得y₁′=2x,y₂′=-2(x-2).

y₁′|_x=a=2a,y₂′|_x=b=-2(b-2).

由k=2a=-2b+4,可得a=,b=,

則l與C₁、C₂的切點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

則,解得k=0或4.

故所求的切線方程為y=4x-4或y=0.

綠色通道:

本題是導(dǎo)數(shù)的一個(gè)具體的應(yīng)用,在解題過程中一般先設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),再利用方程組求出參數(shù)的取值.