【題目】已知函數(shù)
，共中
（1）判斷，
的奇偶性并證明：
（2）證明，函數(shù)在
上單調(diào)遞增；
（3）若不等式
對任成
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）
【解析】
（1） 根據(jù)題意先求出函數(shù)的定義域，判斷是否關(guān)于原點對稱，再表達出
，找出
與的關(guān)系，即可判斷并證明出
的奇偶性；
（2） 根據(jù)單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)任取
，設(shè)
，證明
即可。
（3） 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化成
，再根據(jù)（2），再將不等式轉(zhuǎn)化為
，利用分離參數(shù)法得到
，構(gòu)造新函數(shù)令
，求出
在
的最大值即可求出
的取值范圍。
（1） 由題意得，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且
，滿足奇函數(shù)的定義，故函數(shù)為奇函數(shù)。
（2） 證：任取
,設(shè),可得，將代入函數(shù)式作差得，
即當時，
，
所以，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增。
（3） 不等式
對任意
恒成立，即
對任意恒成立，
為R上的奇函數(shù)，
對任意恒成立，
由（2）知函數(shù)
在上單調(diào)遞增，
對任意恒成立
即對任意恒成立，即
的最大值即可，
令，
再令
，可得
，且
，可變?yōu)?/span>
，
易知
在
上單調(diào)遞減，
即在上的最大值為-1，
的取值范圍為
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓（半徑為1的圓）上爬動，若兩只螞蟻均從點A（1，0）同時逆時針勻速爬動，若紅螞蟻每秒爬過α角，黑螞蟻每秒爬過β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點，并且在第2秒時均位于第二象限，求α，β的值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】寫出下列每對集合之間的關(guān)系：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
是對角線相等且互相平分的四邊形
，
是有一個內(nèi)角為直角的平行四邊形．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，離心率為
，且經(jīng)過點
，直線
交橢圓于不同的兩點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍；
（3）若直線
不過點
，求證：直線
的斜率互為相反數(shù)．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以直角坐標系的原點為極點，以
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程；
（2）若與曲線相切，且與坐標軸交于
兩點，求以
為直徑的圓的極坐標方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1.
(1)求證f(0)＝1；
(2)求證x∈R時，恒有f(x)＞0；
(3)求證f(x)在R上是減函數(shù)．
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