Question

20．（1）設x，y，z∈（0，+∞），a=x+$\frac{1}{y}$，b=y+$\frac{1}{z}$，c=z+$\frac{1}{x}$，求證：a，b，c三數中至少有一個不小于2；
（2）已知a，b，c是△ABC的三條邊，求證：$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$．

Answer 1

分析 （1）假設a，b，c三數都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6，再結合基本不等式，引出矛盾，即可得出結論；
（2）運用分析法證明，運用不等式的性質和三角形的三邊的關系，即可得證．

解答 證明：（1）假設a，b，c三數都小于2，則x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$＜6．
∵x，y，z均大于0，
∴x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+y+$\frac{1}{y}$+z+$\frac{1}{z}$≥2+2+2=6，矛盾．
∴a，b，c三數中至少有一個不小于2．
（2）要 證$\frac{a+b}{1+a+b}$＞$\frac{c}{1+c}$成立，
只需證1-$\frac{1}{1+a+b}$＞1-$\frac{1}{1+c}$
只需證-$\frac{1}{1+a+b}$＞-$\frac{1}{1+c}$，
只需證-$\frac{1}{1+a+b}$＜$\frac{1}{1+c}$只需證 1+c＜1+a+b，只需證c＜a+b
∵a，b，c是△ABC的三條邊∴c＜a+b成立，原不等式成立

點評 本題考查不等式的證明，考查分析法與反證法的運用，注意運用分析法證明，結合不等式的性質和三角形的三邊關系，用反證法證明數學命題的方法和步驟，把要證的結論進行否定，得到要證的結論的反面，是解題的突破口，屬于中檔題．