Question

3．營養(yǎng)學家指出，成人良好的日常飲食應該至少提供75g的碳水化合物，60g的蛋白質，60g的脂肪，100g食物A含有12g的碳水化合物，8g的蛋白質，16g的脂肪，花費3元；而100g食物B含有12g的碳水化合物，16g的蛋白質，8g的脂肪，花費4元．
（Ⅰ）根據已知數據填寫下表：

100g食物	碳水化合物/g	蛋白質/g	脂肪/g
A
B

（Ⅱ）列車每天食用食物A和食物B所滿足的不等式組；
（Ⅲ）為了滿足營養(yǎng)學家指出的日常飲食要求，并且花費最低，每天需要食用食物A和食物B個多少g？

Answer 1

分析 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）根據已知數據填寫下表：

100g食物	碳水化合物/g	蛋白質/g	脂肪/g
A	12	8	16
B	12	16	8

（Ⅱ）設每天食用xg食物A，yg食物B，那么$\left\{\begin{array}{l}{\frac{12}{100}x+\frac{12}{100}y≥75}\\{\frac{8}{100}x+\frac{16}{100}y≥60}\\{\frac{16}{100}x+\frac{8}{100}y≥60}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥625}\\{x+2y≥750}\\{2x+y≥750}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
考慮總成本為z=$\frac{3}{100}x+\frac{4}{100}y$，當然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標函數z=$\frac{3}{100}x+\frac{4}{100}y$取得最小值．
當直線z=$\frac{3}{100}x+\frac{4}{100}y$經過可行域上的點M時，截距最小，即z最�。�
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=625}\\{x+2y=750}\end{array}\right.$，得M的坐標為x=500，y=125，
所以z_min=20．
答：每天食用食物A為500g，食物B為125g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為20元．

點評 用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優(yōu)解．