Question

12．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=A•2ⁿ-B，且A+B=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過S₁，S₂-S₁，S₃-S₂成等比數(shù)列，代入S_n=A•2ⁿ-B計(jì)算可知A=B，結(jié)合A+B=2計(jì)算可知S_n=2ⁿ-1，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知b_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴S₁，S₂-S₁，S₃-S₂成等比數(shù)列，
又∵S_n=A•2ⁿ-B，
∴2A-B，2A，4A成等比數(shù)列，
∴（2A）²=4A（2A-B），
整理得：A=B，
又∵A+B=2，
∴A=B=1，
∴S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=2ⁿ-1-2^n-1+1=2^n-1；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{n}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
則T_n=1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=4-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．