Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交y軸于E點(diǎn)．若，．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）試判斷是否是定值．若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）為定值，為．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意列方程組，解得，，則可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）直線的方程為，聯(lián)立消去y可得．設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理和已知條件，可得，，再相加根據(jù)韋達(dá)定理，變形可得定值.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，

解得，，．

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）為定值．

由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，

因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為．

令，可得，即．

聯(lián)立消去y可得．

設(shè)，，易知，，則，．

，，，．

由，，可得，

所以．

將，代入上式，化簡(jiǎn)可得