Question

已知冪函數(shù)f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈R，當且僅當x₁=x₂時，有f（x₁）=f（x₂）．則f（-1）+f（0）+f（1）的值為

0

．

Answer 1

分析：由已知，函數(shù)f（x）的定義域為R，再進一步的判斷出是奇函數(shù)，問題解決．

解答：解：設f（x）=x^α，由已知，函數(shù)f（x）的定義域為R，∴α＞0，又∵對任意x₁，x₂∈R，當且僅當x₁=x₂時，有f（x₁）=f（x₂）．即是說，y與x一一對應，f（x）必定不是偶函數(shù)．
當α為整數(shù)時，α必為奇數(shù)，從而f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．
當α為分數(shù)時，設α=

m

n

，（

m

n

為最簡正分數(shù)，且n≥2），f（x）=x

m

n

=

n	xm

，∴m為奇數(shù)，n為奇數(shù)，此時f（x）為奇函數(shù)，
同樣地，f（0）=0，f（-1）+f（0）+f（1）=-f（1）+0+f（1）=0．，
故答案為：0

點評：本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)．冪函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)與冪指數(shù)密切相關，本題挖掘出f（x）是定義在R上的奇函數(shù)是關鍵．