Question

【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，對稱軸為x軸，其準(zhǔn)線過點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程；

(2)過拋物線焦點(diǎn)F作直線l，使得拋物線C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都為，求直線l的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)

【解析】

（1）由題意得，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)拋物線C的方程為，由準(zhǔn)線過點(diǎn)，可得，從而求解.

（2）求出拋物線C的焦點(diǎn)為，分類討論直線l的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證不合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，要滿足題意，需使在含坐標(biāo)原點(diǎn)的弧上有且只有一個(gè)點(diǎn)P到直線l的距離為，過點(diǎn)P的直線平行直線且與拋物線C相切，設(shè)該切線方程為，代入拋物線方程，使判別式等于零，再利用兩平行線間的距離公式即可求解.

(1)由題意得，拋物線的焦點(diǎn)在軸正半軸上，設(shè)拋物線C的方程為，

因?yàn)闇?zhǔn)線過點(diǎn)，所以，即.

所以拋物線C的方程為.

(2)由題意可知，拋物線C的焦點(diǎn)為.

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，C上僅有兩個(gè)點(diǎn)到l的距離為，不合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，

要滿足題意，需使在含坐標(biāo)原點(diǎn)的弧上有且只有一個(gè)點(diǎn)P到直線l的距離為，

過點(diǎn)P的直線平行直線且與拋物線C相切.

設(shè)該切線方程為，

代入，可得.

由，得.

由，整理得，

又，解得，即.

因此，直線l方程為.