Question

7．三棱錐A-BCD的外接球?yàn)榍騉，球O的直徑是AD，且△ABC、△BCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則三棱錐A-BCD的體積是$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

Answer 1

分析 利用等邊、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理、三角形的面積計(jì)算公式、三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：如圖所示，連接OB，OC．
∵△ABC、△BCD都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴OB⊥AD，OC⊥AD，OB=OC=$\frac{AC×CD}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴OB²+OC²=BC²，∴∠BOC=90°．
∴三棱錐A-BCD的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△BOC}•AD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握等邊、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理、三角形的面積計(jì)算公式、三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．