Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（x-1）。
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的定義域；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+a，若函數(shù)y=g（x）在（2，3）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)h（x）=f（x）+，是否存在正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=h（x）在[3，9]內(nèi)的最小值為4？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=log₂（x-1），
∴x-1＞0，即x＞1，
∴f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}；
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+a=log₂（x-1）+a 在定義城內(nèi)為增函數(shù)，
又y=g（x）在（2，3）內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)， 
∴g（2）·g（3）＜0，
∵g（2）=f（2）+a=a，
g（3）=f（3）+a=1+a，
∴a（a+1）＜0，得-1＜a＜0，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，0）
（Ⅲ）∵x∈[3，9]，
∴f（x）∈[1，3]，令t=f（x），
則，
∵
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
∴當(dāng)m＞9時(shí)，在t∈[1，3]內(nèi)為減函數(shù)（不要求證明），
∴當(dāng)t=3時(shí)，取最小值，
由=4得m=3＜9，矛盾，舍去；
當(dāng)1≤m≤9時(shí)，
當(dāng)時(shí)，取最小值，
由得m=4；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，在t∈（1，3] 內(nèi)為增函數(shù)（不要求證明），
∴當(dāng)t=1時(shí)；取最小值1+m，
由1+m=4得m=3＞1，矛盾，舍去，
所以存在m=4，使函數(shù)y=h（x）在[3，9]內(nèi)的最小值為4。