Question

已知橢圓的焦點(diǎn)為F₁(-1,0)、F₂(1,0),直線x=4是它的一條準(zhǔn)線.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)A₁、A₂分別是橢圓的左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上滿足|PA₁|-|PA₂|=2的一點(diǎn)，求tan∠A₁PA₂的值；

(3)若過點(diǎn)(1,0)的直線與以原點(diǎn)為頂點(diǎn)、A₂為焦點(diǎn)的拋物線相交于點(diǎn)M、N，求MN中點(diǎn)Q的軌跡方程.

Answer 1

解：(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a＞b＞0).

    由題設(shè)有

    解得∴b²=3.所求橢圓方程為+=1.

    (2)由題設(shè)知，點(diǎn)P在以A₁、A₂為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線的右支上.

由(1)知A₁(-2,0),A₂(2,0),

    設(shè)雙曲線方程為-=1(m＞0,n＞0).

    則解得

     ∴雙曲線方程為x²-=1.

    由

    解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,)或(,-).當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,)時,tan∠A₁PA₂==-4.

    同理,當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(,-)時，

    tan∠A₁PA₂=-4.

    故tan∠A₁PA₂=-4.

    (3)由題設(shè)知，拋物線方程為y²=8x.

    設(shè)M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),MN的中點(diǎn)Q（x,y）,

    當(dāng)x₁≠x₂時,有

   

    ①-②,得 (y₁+y₂)=8,

    將④⑤代入上式，

    有·2y=8,

    即y²=4(x-1)(x≠1).

    當(dāng)x₁=x₂時，MN的中點(diǎn)為(1,0)，仍滿足上式.

    故所求點(diǎn)Q的軌跡方程為y²=4(x-1).