Question

設(shè)平面三點(diǎn)A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（Ⅰ）試求向量2

AB

+

AC

的模
（Ⅱ）試求向量

AB

與

AC

的夾角；
（Ⅲ）試求與

BC

垂直的單位向量的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意先求出

AB

，

AC

，然后代入求解2

AB

+

AC

，即可求解
（Ⅱ）先求|

AB

|，|

AC

|=

12+52

，然后求出

AB

•

AC

，代入向量的夾角公式cosA=

AB • AC

| AB |•| AC |

即可求解
（Ⅲ）設(shè)所求向量為

m

=（x，y），則x²+y²=1． 然后由由

BC

⊥

m

，利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得關(guān)于x，y的方程，聯(lián)立可求x，y即可求解

解答：解：（Ⅰ）∵

AB

=（0-1，1-0）=（-1，1），

AC

=（2-1，5-0）=（1，5）．
∴2

AB

+

AC

=2（-1，1）+（1，5）=（-1，7）．
∴|2

AB

+

AC

|=

(-1)2+72

=

50

=5

2

．…（4分）
（Ⅱ）∵|

AB

|=

(-1)2+12

=

2

．
|

AC

|=

12+52

=

26

，

AB

•

AC

=（-1）×1+1×5=4．
∴cosA=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

4

2 • 26

=

2 13

13

．…（8分）
（Ⅲ）設(shè)所求向量為

m

=（x，y），則x²+y²=1．  ①
又  

BC

=（2-0，5-1）=（2，4），由

BC

⊥

m

，得2 x+4 y=0．  ②
由①、②，得

x= 2 5 5 y=- 5 5

或

x=- 2 5 5 y= 5 5

∴

m

=（

2 5

5

，-

5

5

）或（-

2 5

5

，

5

5

）．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基本運(yùn)算，向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題