Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+bx過（1，3）點，若數(shù)列{$\frac{1}{f（n）}$}的前n項和為S_n，則S_n的值為（　�。�

• A． $\frac{n+1}{n+2}$
• B． $\frac{n+1}{2n+4}$
• C． $\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$
• D． $\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

Answer 1

分析 利用數(shù)列與函數(shù)的關系求出b，得到數(shù)列的通項公式，然后利用裂項法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+bx過（1，3）點，
可得：3=1+b，解得b=2，
可知：f（n）=n（n+2），∴$\frac{1}{f（n）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結合，數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和，考查轉化思想以及計算能力．