Question

14．如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，$AC=\sqrt{2}$，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：AC⊥平面BCDE；
（Ⅲ）求直線AE與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG，則可證明四邊形BEFG是平行四邊形，故而EF∥BG，于是EF∥平面ABC；
（II）取DC的中點(diǎn)H，連結(jié)BH，則可利用勾股定理計(jì)算出BC=$\sqrt{2}$，從而得出AC⊥BC，由面面垂直的性質(zhì)得出AC⊥平面BCDE；
（III）過點(diǎn)E作EM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)AM，則可證EM⊥平面ABC，故而∠EAM為直線AE與平面ABC所成角，利用勾股定理計(jì)算EM，AM即可得出tan∠EAM．

解答 證明：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，BG．
∵F是AD的中點(diǎn)，∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
又BE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，∴FG$\stackrel{∥}{=}$BE．
∴四邊形BEFG為平行四邊形．
∴EF∥BG，又EF?平面ABC，BG?平面ABC．
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）取DC的中點(diǎn)H，連結(jié)BH，
∵∠CDE=∠BED=90°，BE∥DH，BE=DH=DE=1，
∴四邊形BEDH是正方形，∴BH=CH=1，BH⊥CH，
∴BC=$\sqrt{2}$，又AC=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE．
（Ⅲ）過點(diǎn)E作EM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連結(jié)AM，
因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，EM?平面BCDE，
∴EM⊥平面ABC，
∴∠EAM為直線AE與平面ABC所成角，
∵∠HBC=45°，∠EBH=90°，∴∠EBM=45°．
∵BE=1，∠EMB=90°，∴EM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AM=$\sqrt{M{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
∴tan∠EAM=$\frac{EM}{AM}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．