Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，有一組對(duì)角線長(zhǎng)為的正方形，

其對(duì)角線依次放置在軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）.設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)時(shí)，證明：頂點(diǎn)不在同一條直線上；

（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn)均落在拋物線上；

（3）為使所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，求與之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式.

Answer 1

解答：本題主要考查直線方程、直線和拋物線的位置關(guān)系以及數(shù)列的綜合問(wèn)題.

[證明]（1）由題意可知，，

    ∴

    ，

    ∴頂點(diǎn)不在同一條直線上

    （2）由題意可知，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

    頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)

    ∵對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，

    ∴所有頂點(diǎn)均落在拋物線上

    （3）[解法一] 由題意可知，頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別是

   

    消去，可得 .

    為使得所有頂點(diǎn)均落在拋物線上，則有

      解之，得 .

    ∴所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：.

    [解法二] 點(diǎn)的坐標(biāo)為

    ∵點(diǎn)在拋物線上，

    ∴.

    又點(diǎn)的坐標(biāo)為 且點(diǎn)也在拋物線上，

    ，把點(diǎn)代入拋物線方程，解得 .

    因此，，∴拋物線方程為.

    又

    ∴有頂點(diǎn)落在拋物線上.

    ∴所應(yīng)滿足的關(guān)系式是：