Question

如圖，已知三棱柱ABC－A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線A₁B₁上，且

（1）證明：無論入取何值，總有AM⊥PN；

（2）當(dāng)入取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該角取最大值時的正切值。

（3）是否存在點(diǎn)P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º，若存在，試確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則A₁（0，0，1），B₁（1，0，1）， M（0，1，），

N（，0），

，

（1）∵，∴

∴無論取何值，AM⊥PN.........4分

（2）∵（0，0，1）是平面ABC的一個法向量。

∴sinθ=|cos<|=

∴當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時sinθ=,cosθ=,tanθ=2

當(dāng)＝時，θ取得最大值，此時tanθ=2..........8分

（3）設(shè)存在，，設(shè)是平面PMN的一個法向量。

則得令x=3，得y=1+2,z=2-2

∴_{..........10分}

∴|cos<>|=化簡得4

∵△＝100-4413＝-108<0∴方程（*）無解

∴不存在點(diǎn)P使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30º.........12分