Question

【題目】已知菱形ABCD如圖（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC與BD相交于點(diǎn)O，現(xiàn)沿AC進(jìn)行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取點(diǎn)E，連接AE，BE，CE，DE，使得線(xiàn)段BE再平面ABC內(nèi)的投影落在線(xiàn)段OB上，得到的圖形如圖（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．
（Ⅰ）證明：DE⊥AC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：依題意得△ABC，△ACD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴DO⊥AC． 又平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，DO面ACD，∴DO⊥面ABC．
作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，且∠EBF=∠OBE=60°．
在Rt△BEF中，EF=BE ，
在Rt△DOC中，DO=DC ，
∵DO⊥面ABC，EF⊥面ABC，所以DO∥EF，又DO=EF，∴四邊形DEFO是矩形，
∵OF⊥AC，∴DE⊥AC；

（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），E（0， ）．
故 ）， ．
設(shè)平面BCE的法向量為 ，
由 ，可取
設(shè)平面ABE的法向量為 ，
由 ，可取
cos = =﹣ ，
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值為

【解析】（Ⅰ）依題意得DO⊥AC，又平面ACD⊥平面ABC，得DO⊥面ABC．作EF⊥面ABC于F，可得F落在BO上，可得四邊形DEFO是矩形，即證得 DE⊥AC（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OD所在直線(xiàn)分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣1，0，0），E（0， ）．利用向量求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行才能正確解答此題．