Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).

(1)求的解析式；

(2)證明：函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；

(3)設(shè)是否存在正實數(shù)使得函數(shù)在內(nèi)的最小值為？若存在，求出的值；若存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3)存在使函數(shù)在內(nèi)的最小值為.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得實數(shù)a,b的值，則；

(2)由單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；

(3)結(jié)合函數(shù)的解析式分類討論可得存在使函數(shù)在內(nèi)的最小值為.

試題解析：

(1)∵∴又∴

∴.

(2)設(shè)為區(qū)間內(nèi)的任意兩個自變量，且

則==

∵∴

又∵∴∴

即∴在上為增函數(shù).

(3)由(2)知在內(nèi)為增函數(shù)，∴

令則.

①當(dāng)時上單調(diào)遞減

解得矛盾，舍去；

②當(dāng)時

解得時取等號；

③當(dāng)時在上單調(diào)遞增

解得矛盾，舍去.

所以存在使函數(shù)在內(nèi)的最小值為.