Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）．若b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，a_n=n，則b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），再分n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求出前n項和．

解答 解：∵2S_n=a_n•a_n+1（n∈N^*）．
當n≥2時，2S_n-1=a_n-1•a_n，
∴2a_n=2S_n-2S_n-1=a_n（a_n+1-a_n-1），
∵a₁=1，
∴a_n≠0
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=2，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=1+（n-1）=n，
∴b_n=（-1）ⁿ$\frac{2n+1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•$\frac{2n+1}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=-（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$）-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$）+…+（-1）ⁿ•（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
當n為偶數(shù)時，T_n=-1+$\frac{1}{n+1}$，
當n為奇數(shù)時，T_n=-1+$\frac{1}{n}$-（$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）=-1-$\frac{1}{n+1}$，
綜上所述T_n=-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$，
故答案為：-1+$\frac{（-1）^{n}}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式關系式，和數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的前n項和，屬于中檔題．