Question

19．如圖所示，已知P，Q是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．
（1）求證：PQ∥平面BCC₁B₁；
（2）求直線PQ與平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （1）以B為原點建立坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PQ}$和平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{BA}$，通過證明$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$得出PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）求出平面ABCD的法向量$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，計算cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞，于是直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞|．

解答 解：（1）證明：以B為原點，以BA，BC，BB₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖所示，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴$\overrightarrow{BA}$為平面BCC₁B₁的一個法向量，
設(shè)正方體的棱長為2，則P（1，0，1），Q（1，1，0），
B（0，0，0），A（2，0，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{BA}$=0，
∴$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$．
又PQ?平面BCC₁B₁，
∴PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）∵BB₁⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$為平面ABCD的法向量，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=-$\frac{-2}{\sqrt{2}×2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線PQ與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線PQ與平面ABCD所成角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了線面平行的判斷，線面角的計算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．