Question

如圖：為了保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)．經測量，點A位于點O正北方向60m處，點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸）．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直，保護區(qū)的邊界為圓心M（在線段OA上）與BC相切的圓．建立如圖所示的直角坐標系，已知新橋BC所在直線的方程為：4x+3y-680=0．
（1）求新橋端點B的坐標；
（2）當圓形保護區(qū)的圓心M在古橋OA所在線段上（含端點）運動時，求圓形保護區(qū)的面積的最小值，并指出此時圓心M的位置．

Answer 1

考點：圓方程的綜合應用

專題：直線與圓

分析：（1）設出B的坐標，利用AB和BC垂直，利用待定系數法即可得到結論．
（2）要求圓面積的最小值，則只需求得圓半徑的最小值即可得到結論．

解答： 解：（1）設B（a，b），由題意可知A（0，60），直線BC的斜率k=-

4

3

，
則滿足條件

4a+3b-680=0 b-60 a •(- 4 3 )=-1

，即

4a+3b-680 3a-4b+240=0

，
解得

a=80 b=120

，即B（80，120）．
（2）要使圓形保護區(qū)的面積的最小，則只需求得圓半徑最小即可，
∵AB⊥BC，
∴當M位于點A（0，60）時，此時圓的半徑最小，此時半徑r=AB=

802+(120-60)2

=

802+602

=100，
圓心M（0，60）．
則圓的面積最小為S=π×100²=10000π．

點評：本題主要考查直線和圓的方程的應用，利用直線和圓的位置關系，以及利用待定系數法是解決本題的關鍵．