Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；

（Ⅲ）試證明：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在區(qū)間上是減函數(shù);

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，

即在上恒成立，

構(gòu)造，；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題

故在區(qū)間上是減函數(shù);               3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，

即在上恒成立，

取，則h′(x)，       5分

再取則 

故在上單調(diào)遞增，

而，

故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，

故時(shí)，時(shí)， 

故

故                    7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，

又

即：          12分

考點(diǎn)：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及不等式證明。

點(diǎn)評(píng)：難題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及恒成立問題、不等式證明問題，通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的單調(diào)性及最值。