Question

7．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a_n=log₂b_n（n∈N^*），S_n為等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，b₄=4b₂．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=$\frac{1}{{S}_{n}}+\frac{1}{_{n}}$，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：$\frac{3}{2}$≤T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，結(jié)合題意列出方程求出首項(xiàng)、公差，代入通項(xiàng)公式，再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到所求；
（2）求得c_n=$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，由裂項(xiàng)相消求和和等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
a_n=log₂b_n（n∈N^*），可得b_n=2^a_n，
a₁=1，b₄=4b₂．可為a₁=1，2^a₄=4•2^a₂，
即有a₄=2+a₂，即2d=2，d=1，
則a_n=1+n-1=n，b_n=2ⁿ；
（2）證明：c_n=$\frac{2}{n（n+1）}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
由于c_n＞0，c₁=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，則T_n≥c₁=$\frac{3}{2}$；
又T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）+1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ=3-$\frac{2}{n+1}$-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜3，
綜上可得，$\frac{3}{2}$≤T_n＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．