Question

9．已知點A（2，0），點B（2$\sqrt{3}$，0），直線l：（λ+3）x+（λ-1）y-4λ=0（其中λ∈R）．
（Ⅰ）求直線l所經過的定點P的坐標；
（Ⅱ）若分別過A，B且斜率為$\sqrt{3}$的兩條平行直線截直線l所得線段的長為4$\sqrt{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）把λ看做未知數，令λ的系數和常數均為0列方程組解出x，y即可得出定點坐標．
（II）先求出過A，B且斜率為$\sqrt{3}$的兩條平行直線，再分直線l的斜率存在和不存在兩種情況討論即可．

解答 解：（I）直線l的方程可化為：（x+y-4）λ+3x-y=0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{3x-y=0}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$．
∴直線l所經過的定點P（1，3）．
（II）過A點且斜率為$\sqrt{3}$的直線方程為：$\sqrt{3}$x-y-2$\sqrt{3}$=0，
過B點且斜率為$\sqrt{3}$的直線方程為：$\sqrt{3}$x-y-6=0，
若直線l無斜率，則直線l的方程為x=1，
把x=1分別代入兩平行線方程可得交點坐標分別為（1，-$\sqrt{3}$），（1，$\sqrt{3}-6$），
∴直線l被兩平行線所截的線段長為|y₁-y₂|=6-2$\sqrt{3}$≠4$\sqrt{3}$，不符合題意；
若直線l有斜率，設直線l的方程為y=kx-k+3，顯然k$≠\sqrt{3}$．
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}=0}\\{y=kx-k+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+2\sqrt{3}-k}{\sqrt{3}-k}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{3}k}{\sqrt{3}-k}}\end{array}\right.$，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y-6=0}\\{y=kx-k+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9-k}{\sqrt{3}-k}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}k+6k}{\sqrt{3}-k}}\end{array}\right.$，
∴（$\frac{2\sqrt{3}-6}{\sqrt{3}-k}$）²+（$\frac{2\sqrt{3}k-6k}{\sqrt{3}-k}$）²=48，
解得k=2±$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$，
∴直線l的方程為y=（2+$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$）x-$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$+1或y=（2-$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$）x+$\sqrt{3-\frac{4}{\sqrt{3}}}$+1．

點評 本題考查了直線的方程，交點坐標與距離公式，計算較復雜，屬于中檔題．