Question

已知函數(shù)．（a為常數(shù)，a＞0）
（Ⅰ）若是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（Ⅱ）求證：當0＜a≤2時，f（x）在上是增函數(shù)；
（Ⅲ）若對任意的a∈（1，2），總存在 ，使不等式f（x₀）＞m（1﹣a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：由題得：．
（Ⅰ）由已知，得且，
∴a²﹣a﹣2=0，
∵a＞0，∴a=2．
（Ⅱ）當0＜a≤2時，
∵，
∴，
∴當時，．
又，∴f'（x）≥0，故f（x）在上是增函數(shù)．
（Ⅲ）a∈（1，2）時，由（Ⅱ）知，
f（x）在上的最大值為，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式恒成立．
記，（1＜a＜2）
則，
當m=0時，，
∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，此時，g（a）＜g（1）=0，由于a²﹣1＞0，
∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴．
若，可知g（a）在區(qū)間上遞減，在此區(qū)間上，有
g（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，故，
這時，g'（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，恒有g（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴，即，
，實數(shù)m的取值范圍為．