Question

11．已知函數(shù)f（x）=x³-2ax-1，a≠0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f（x）的圖象由三個不同的交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=3x²-2a，從而分類討論以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由f（x）在x=-1處取得極值可知f′（x）=3•（-1）²-2a=0，從而可得f′（x）=3（x-1）（x+1），從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=x³-2ax-1，
∴f′（x）=3x²-2a；
①當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，
故f（x）在R上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時，f′（x）=3x²-2a=3（x-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）（x+$\frac{\sqrt{6a}}{3}$），
故f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，$\frac{\sqrt{6a}}{3}$）上是減函數(shù)，
在（$\frac{\sqrt{6a}}{3}$，+∞）上是增函數(shù)；
（2）∵f（x）在x=-1處取得極值，
∴f′（x）=3•（-1）²-2a=0，
∴a=$\frac{3}{2}$；
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
f（1）=1³-3-1=-3，f（-1）=（-1）³+3-1=1；
∵直線y=m與y=f（x）的圖象由三個不同的交點，
∴-3＜m＜1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．