Question

19．根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式a_n，n∈N^*．
（1）數(shù)列{a_n}中，a₂=6，a_n+1-2a_n=0；
（2）數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$；
（3）數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3，n∈N^* 則a_n=3•2^n-1-1．

Answer 1

分析 （1）由遞推式可得數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則答案可求；
（2）由遞推式可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}為常數(shù)列，結(jié)合已知求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由遞推式構造等比數(shù)列{a_n+1}，再由等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：（1）由a₂=6，a_n+1-2a_n=0，可得：a₁=3，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$．
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n-1}$；
（2）由a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，得$\frac{{a}_{n+1}}{（n+1）+1}=\frac{{a}_{n}}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n+1}$}為常數(shù)列．
由a₁=1，得$\frac{{a}_{1}}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n+1}=\frac{1}{2}$，則${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$；
（3）由a_n+1=2a_n+3，得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁=2，∴a₁+1=3≠0，
∴數(shù)列{a_n+1}是以3為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}+1=3•{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n-1}-1$．
故答案為：3•2^n-1-1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．