Question

已知圓是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)；若存在，求出直線l的方程：若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：存在;直線y=x－4$y=x＋1
解析：

解：將圓的一般式配方，得 設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，如圖所示． 則 連結(jié)CA，CM，則△CMA為直角三角形． 假設(shè)直線l存在，設(shè)其方程為y=x＋b， 則圓心到它的距離 ∴ 把y=x＋b代入圓的方程并整理得 設(shè) 則∴ ∴ ∴ 根據(jù)題意，有即 兩邊平方整理得解得b=1或b=－4． ∴存在直線y=x－4或y=x＋1，滿足題目的要求． 這是一個(gè)直線和圓的綜合問(wèn)題，若存在AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則原點(diǎn)到弦AB中點(diǎn)的距離等于弦AB長(zhǎng)度的一半，據(jù)此便可建立關(guān)系式求解．