Question

（2012•威海二模）若集合A₁，A₂…A_n滿足A₁∪A₂∪…∪A_n=A，則稱A₁，A₂…A_n為集合A的一種拆分．已知：
①當A₁∪A₂={a₁，a₂，a₃}時，有3³種拆分；
②當A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂，a₃，a₄}時，有7⁴種拆分；
③當A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}時，有15⁵種拆分；
…
由以上結論，推測出一般結論：
當A₁∪A₂∪…A_n={a₁，a₂，a₃，…a_n+1}有

（2ⁿ-1）ⁿ⁺¹

種拆分．

Answer 1

分析：觀察所給的幾個集合的拆分種數，發(fā)現規(guī)律，由此推測出一般結論即可．

解答：解：觀察①當A₁∪A₂={a₁，a₂，a₃}時，有3³種拆分；
②當A₁∪A₂∪A₃={a₁，a₂，a₃，a₄}時，有7⁴種拆分；
③當A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}時，有15⁵種拆分；
…
其中3³=（2²-1）²⁺¹，7⁴=（2³-1）³⁺¹，15⁵=（2⁴-1）⁴⁺¹，…
由以上結論，推測出；當A₁∪A₂∪…A_n={a₁，a₂，a₃，…a_n+1}有 （2ⁿ-1）ⁿ⁺¹種拆分．
故答案為：（2ⁿ-1）ⁿ⁺¹

點評：本題主要考查了合情推理中的歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．