Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面的中心，E是CC₁的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)A₁D與EO所成角的余弦值為（　�。�

• A、

  3

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、0

Answer 1

分析：本題可以建立空間坐標(biāo)系，求出兩異面直線(xiàn)的方向向量，利用數(shù)量積公式求出兩向量夾角余弦的絕對(duì)值，即所求的異面直線(xiàn)A₁D與EO所成角的余弦值

解答：解：如圖以DA所在直線(xiàn)為X軸，以DC所在直線(xiàn)為Y軸，以DD₁所在直線(xiàn)為Z軸建立如圖的坐標(biāo)系，由題設(shè)條件棱長(zhǎng)為2，O為底面的中心，E是CC₁的中點(diǎn)，故有A₁（2，0，2），D（0，0，0），O（1，1，0），E（0，2，1）
故

A 1D

=（-2，0，-2），

EO

=（-1，1，1），
cos＜

A 1D

，

EO

＞=

A 1D • EO

| EO | | A 1D |

=

0

8 × 3

=0
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成角的求法，由于本題中兩個(gè)異面直線(xiàn)所存在的背景是一個(gè)正方形，故采取向量法求兩線(xiàn)的夾角比較方便，用向量法求兩異面直線(xiàn)的夾角最大的好處是不用再作角，證角，簡(jiǎn)化了思維．