Question

函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R．
（1）當b=1時，求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）當時，求函數(shù)f（x）在（-1，1]上的最大值；（ln2≈0.69）
（3）設g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

解：（1）當b=1時，f（x）=x²+ln（x+1）-2x定義域為（-1，+∞），
，f^′（0）=-1，又f（0）=0，
故有直線的方程可知：曲線f（x）在點（0，f（0））出的切線方程為：y=-x，
（2）當b=，
求導得：，
由f^′（x）=0?，
當x變化時，f^′（x），f（x）的變化情況如下表：

由上表可知：，，，
所以，所以函數(shù)f（x）在（-1，1]上的最大值為：，
（3）證明：∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x
∴ =0．
當且僅當2（x+1）=，即：b=2，且x=0時取等號，
∴b≥2時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，從而對于任意x₁，x₂∈（-1，+∞）且x₁≥x₂，有f（x₁）＞f（x₂），即
g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂∴g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）
分析：（1）把b=1代入解析式，使得解析式具體，對于函數(shù)求導利用導函數(shù)的幾何意義即可求的；
（2）把代入解析式，由函數(shù)求導得導函數(shù)，求出函數(shù)在定義域上的極值，在與區(qū)間端點值進行比較大小，進而求得函數(shù)在區(qū)間上的最值；
（3）由于g（x）=f（x）+2x，由函數(shù)解析式求導得其導函數(shù)，利用導函數(shù)得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進而得到要證明的不等式．
點評：此題考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，還考查了導數(shù)的幾何含義進而求出曲線上任意一點處的切線方程，還考查了利用均值不等式求解函數(shù)的最值．