Question

已知{a_n}為公差不為零的等差數列，首項a₁=a，{a_n}的部分項ak1、ak2、…、akn恰為等比數列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n（用a表示）；
（2）設數列{k_n}的前n項和為S_n，求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3 2

（n是正整數）．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數學歸納法

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a₁=a，a₅=a+4d，a₁₇=a+16d成等比數列，可得d，從而可求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）確定akn=

kn+1

2

a=a•3^n-1，可得kn=2×3n-1-1，從而可得數列{k_n}的前n項和為S_n，利用二項式定理，可得

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

（n≥2），利用等比數列的求和公式，即可得出結論．

解答： （1）解：設數列{a_n}的公差為d（d≠0），
由已知得a₁=a，a₅=a+4d，a₁₇=a+16d成等比數列，
∴（a+4d）²=a（a+16d），且a≠0…（2分）
得d=0或d=

a

2

∵已知{a_n}為公差不為零
∴d=

a

2

，…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=a+(n-1)

a

2

=

n+1

2

a．…（4分）
（2）證明：由（1）知an=

n+1

2

a，∴akn=

kn+1

2

a…（5分）
而等比數列{akn}的公比q=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=3．
∴akn=a1•3n-1=a•3n-1…（6分）
因此akn=

kn+1

2

a=a•3^n-1，
∵a≠0
∴kn=2×3n-1-1…（7分）
∴Sn=(2×30+2×31+…+2×3n-1)-n=

2(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1…（9分）
∵當n＞1時，3n=(1+2)n=

C

0 n

+

C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n-1 n

×2n-1+

C

n n

×2n≥

C

0 n

+

C

1 n

×2+

C

n n

×2n
=2ⁿ+2n+1＞2ⁿ+n+1
∴3ⁿ-n-1＞2ⁿ，
∴

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

（n≥2）…（11分）
∴當n=1時，

1

S1

=1＜

3

2

，不等式成立；
當n≥2時，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n＜

3

2

綜上得不等式

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

成立．…（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查數列的通項，考查等比數列的求和，考查小時分析解決問題的能力，綜合性強．