Question

已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動點．
（Ⅰ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求點C到平面PDB的距離；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D-AE-B的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）連接AC，由正方形對角線互相垂直，則已知中PC⊥面ABCD，我們易得BD⊥AE，BD⊥AC，由線面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由線面垂直的性質(zhì)即可得到不論點E在何位置，都有BD⊥AE．
（II）點到平面的距離可以根據(jù)等體積法交線計算，即V_P-BCD=V_C-BPD，在換頂點求體積時應(yīng)當換一個高與底面積都易求的頂點．
（III）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量再結(jié)合向量的有關(guān)運算計算出二面角的平面角的余弦值，進而求出角度．
解答：解：（Ⅰ） 不論點E在何位置，都有BD⊥AE                      …（1分）
證明：連接AC，由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD 且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC．…（3分）
又∵AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC．
∵不論點E在何位置，都有AE?平面PAC，
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE．                …（5分）
（Ⅱ）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．…（7分）
設(shè)點C到平面PDB的距離為d，
∵V_P-BCD=V_C-BPD，
∴，，
∴，∴---------------------------（10分）
（Ⅲ）以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為
由法向量的性質(zhì)可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，則
∴．
點評：本題主要考查線面垂直、點到平面的距離與二面角的求法，解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而便于得到點、線、面的位置關(guān)系，也可以利用建立空間坐標系求解二面角、空間距離或者判定線面的位置關(guān)系．