Question

2．直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線c的極坐標(biāo)方程為ρ²-10ρcosθ+9=0，點(diǎn)P是直線l上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與曲線c相切于點(diǎn)M，則|PM|最小值為4．

Answer 1

分析 直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t即可化為直角坐標(biāo)方程；利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ²-10ρcosθ+9=0，化為直角坐標(biāo)方程．
當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為x+y+3=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-10ρcosθ+9=0，化為x²+y²-10x+9=0，配方為（x-5）²+y²=16．
當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PM|取得最小值=$\sqrt{|PC{|}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5+0+3}{\sqrt{2}}）^{2}-16}$=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．