Question

22.已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線與x軸的交點為，其中為正實數(shù).

（Ⅰ）用表示；

（Ⅱ）若，記，證明數(shù)列成等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）若，，是數(shù)列的前項和，證明：

Answer 1

本題綜合考察數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數(shù)列成等比數(shù)列，故，

即，從而

所以

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

∴

∴

當(dāng)時，顯然

當(dāng)時，，

∴

綜上，