Question

(21)設(shè)直線ay=x－2與拋物線y²=2x交于相異兩點(diǎn)A、B,以線段AB為直徑作圓H(H為圓心).試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上;并求a的值,使圓H的面積最小.

Answer 1

(21)

 解法一：

設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),則其坐標(biāo)滿足

消去x得y²－2ay－4=0.

則

因此·=x_Ax_B+y_Ay_B=0,即OA⊥OB

故O必在圓H的圓周上

又由題意，圓心H(x_H,y_H)是AB的中點(diǎn)，故

由前已證,OH應(yīng)是圓H的半徑,且

|OH|==,

從而當(dāng)a=0時(shí),圓H的半徑最小,亦使圓H的面積最小.

解法二:設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),則其坐標(biāo)滿足

分別消去x、y得

故得A、B所在圓的方程x²+y²－2(a²+2)x－2ay=0.

明顯地,O(0,0)滿足上面方程.

故A、B、O三點(diǎn)均在上面方程所表示的圓上.

又知A、B中點(diǎn)H的坐標(biāo)為()=(2+a²,a),

故|OH|=.

而前面圓的方程可表示為

［x－(2+a²)］²+(y－a)²=(2+a²)²+a²,

故|OH|為上面圓的半徑R.

從而以AB為直徑的圓必過(guò)點(diǎn)O(0,0).

又R²=|OH|²=a⁴+5a²+4

故當(dāng)a=0時(shí),R²最小,從而圓的面積最小.

解法三:

同解法一得O必在圓H的圓周上

又直徑|AB|==

=≥=4.

上式當(dāng)x_A=x_B時(shí),等號(hào)成立,直徑|AB|最小,從而圓面積最小,此時(shí)a=0.