Question

在曲線(xiàn)y=x²（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線(xiàn)使之與曲線(xiàn)以及x軸所圍圖形的面積為．試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)A的切線(xiàn)方程．

Answer 1

【答案】分析：求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)A的切線(xiàn)方程，先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a²），只須在切點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率從而得到切線(xiàn)的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．最后求出其斜率的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線(xiàn)的斜率．從而問(wèn)題解決．
解答：解：如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A（x，y），
由y′=2x，得過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)方程為
y-y=2x（x-x），即y=2xx-x²．
令y=0，得x=，即C（，0）．
設(shè)由曲線(xiàn)和過(guò)A點(diǎn)的切線(xiàn)及x軸所圍成圖形的面積為S．
S_{曲邊三角形AOB}=∫x₀₀x²dx=x^3|x₀₀=x³，
S_△ABC=|BC|•|AB|=（x-）•x²=x³．
∴S=x³-x³=x³=．
∴x=1，從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），切線(xiàn)方程為y=2x-1．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、定積分的應(yīng)用、直線(xiàn)的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．