Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，點P在棱DF上．

（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，求PF的長度．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，則（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），計算夾角得到答案.

（2）設(shè)，0≤λ≤1，計算P（0，2λ，2﹣2λ），計算平面APC的法向量（1，﹣1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根據(jù)夾角公式計算得到答案.

（1）∵BAF＝90°，∴AF⊥AB，

又∵平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，

∴AF⊥平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，

∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，

∵AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，P是DF的中點，

∴B（2，0，0），E（1，0，2），C（2，2，0），P（0，1，1），

（﹣1，0，2），（﹣2，﹣1，1），

設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ，

則cosθ，

∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為．

（2）A（0，0，0），C（2，2，0），F（0，0，2），D（0，2，0），

設(shè)P（a，b，c），，0≤λ≤1，即（a，b，c﹣2）＝λ（0，2，﹣2），

解得a＝0，b＝2λ，c＝2﹣2λ，∴P（0，2λ，2﹣2λ），

（0，2λ，2﹣2λ），（2，2，0），

設(shè)平面APC的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，﹣1，），

平面ADP的法向量（1，0，0），

∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為，

∴|cos|，

解得，∴P（0，，），

∴PF的長度|PF|．