Question

 (本小題滿分12分) 已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2） 過橢圓C的左焦點(diǎn)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)，若的面積為，求圓心在原點(diǎn)O且與直線相切的圓的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

 

【解析】(1)由離心率e和橢圓經(jīng)過點(diǎn),可得關(guān)于a,b,c的兩個(gè)方程，再結(jié)合,可求出a,b的值.

(2)討論斜率不存在時(shí)，和斜率存在時(shí)兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，

可設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，得,然后根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出|AB|的長(zhǎng)度，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出O到|AB|的距離，從而表示出三角形AOB的面積，根據(jù)面積建立關(guān)于k的方程，解方程即可.但要注意驗(yàn)證判別式.

解：(1) 設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，

又，所以．……………2分

又橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得．……………4分

所以，，則橢圓C的方程為．……………6分

(2) 解法一：當(dāng)直線軸時(shí)，經(jīng)過計(jì)算可以得到：，或，，，不符合題意． ……………7分

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由，消去，得．  ……………8分

顯然恒成立，設(shè)，

則．……………9分

又

．

又圓的半徑，

所以．……………10分

即，解得 (舍去)，所以．……11分

故圓的方程為．…………………12分

解法二：設(shè)直線的方程為．

由，消去，得，顯然恒成立．……8分

設(shè)，則．……………9分

所以，

所以．……………10分

化簡(jiǎn)，得，解得 (舍去)．

又圓的半徑，所以．……………11分

故圓的方程為．…………………12分