Question

13．已知二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+2（a＞0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，求a和b的值；
（2）若b=2a+1，解關于x的不等式f（x）≤0．

Answer 1

分析 （1）由題意，ax²-bx+2＞0（a＞0）的解集為{x|x＞2或x＜1}，根據不等式與方程的關系有：x1=2，x2=1求解a，b．
（2）b=2a+1，那么：f（x）=ax²-（2a+1）x+2=（ax-2）（x-1）≤0．對a與1的大小比較近討論，得解．

解答 解：（1）由題意，ax²-bx+2＞0（a＞0）的解集為{x|x＞2或x＜1}，根據不等式與方程的關系有：x₁=2，x₂=1，利用韋達定理：$\frac{a}={x}_{1}+{x}_{2}=3$，$\frac{c}{a}={x}_{1}•{x}_{2}=2$，解得：a=1，b=3．
故當不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞2或x＜1}，a、b的值分別為1，3；
（2）當b=2a+1，那么：f（x）=ax²-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2）
f（x）≤0，即（ax-1）（x-2）≤0，
解得：x₁=$\frac{1}{a}$，x₂=2．
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，x₁＞x₂，不等式的解集為[$2，\frac{1}{a}$]
當a=$\frac{1}{2}$時，x₁=x₂，不等式的解集為{x|x=2}；
當a＞$\frac{1}{2}$時，x₁＜x₂，不等式的解集為[$\frac{1}{a}$，2]；
綜上所述：當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，x₁＞x₂，不等式的解集為[$2，\frac{1}{a}$]
當a=$\frac{1}{2}$時，x₁=x₂，不等式的解集為{x|x=2}；
當a＞$\frac{1}{2}$時，x₁＜x₂，不等式的解集為[$\frac{1}{a}$，2]．

點評 本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及根與系數(shù)的關系，同時考查了分析求解的能力和計算能力，屬于中檔題．