Question

（本小題滿分14分）已知常數(shù)，函數(shù)，．

（1）討論在上的單調(diào)性；

（2）若在上存在兩個極值點，，且，求常數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間（，）上單調(diào)遞增．

（2）的取值范圍為

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，分和討論即可

（2）由（1）可知只有當(dāng)時，由極值點和且由的定義可得，

而，此時構(gòu)造函數(shù)其中，分和討論的單調(diào)性即可得到的取值范圍

試題解析：（1）

當(dāng)時，，此時，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

當(dāng)時，由得

（舍去）

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

綜上所述，

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

在區(qū)間（，）上單調(diào)遞增．

（2）由（*）式知，當(dāng)時，，此時不存在極值點，

因而要使得有兩個極值點，必有.

又的極值點只可能是和，且由的定義可知，

且，

所以

此時，由（*）式易知，分別是的極小值點和極大值點．

而

令.由且知，

當(dāng)時，；當(dāng)時，

記

（i）當(dāng)時，，

設(shè)

單調(diào)遞增

從而.

故當(dāng)時，.

不合題意，舍去

（ii）當(dāng)時，，

所以，

因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

從而.故當(dāng)時，.

綜上所述，滿足條件的的取值范圍為.

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

考點分析： 考點1：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 考點2：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 考點3：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 考點4：函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) 考點5：函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 試題屬性

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