Question

己知直線(xiàn)L：y=k(x－1),雙曲線(xiàn)x²－y²=4, 試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍。

(1)直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)。

Answer 1

答案：
解析：

解：由消去y，得 （1－k2）x2+2k2x－k2－4=0。 (1)當(dāng)1－k2=0即k=±1時(shí)，直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行， 以上方程化為2x=5，只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)。 (2)當(dāng)1－k2≠0，即k≠±1時(shí)， △=（2k2）2－4(1－k2)(－k2－4) =4(4－3k2)。 (ⅰ)即－<k<且k≠±1時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)； （ⅱ）即k=±時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)； （ⅲ）即k<－或k>時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)。 綜上所述，當(dāng)－<k<－1或－1<k<1或1<k<時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k=±1或k=±時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)k<－或k>時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)。