Question

已知函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，記．
（1）求a的值；
（2）證明f（x）+f（1-x）=1；
（3）求的值．

Answer 1

解：（1）函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值與最小值之和為20，
而函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調遞增或單調遞減
∴a+a²=20，得a=4，或a=-5（舍去）
∴a=4
（2）證明：
∴
==
==1
（3）由（2）知，=1，，…
∴
=…+
=1+1+1+…+1=1005
分析：（1）因為函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）在[1，2]上單調遞增或單調遞減，所以最大值和最小值一定取到端點處，列方程即可解得a值；（2）利用指數(shù)運算性質，代入函數(shù)解析式即可化簡證明；（3）注意到和式中的自變量的特點，利用（2）的結論，將所求分組求和即可
點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調性及其應用，利用指數(shù)運算性質化簡求值，倒序相加的求和思想