Question

6．如圖，在直三角形ABC-A₁B₁C₁中，M為AB₁的中點，△CMB₁為等邊三角形
（1）證明：AC⊥平面BCC₁B₁
（2）設(shè)二面角B-CA-M的大小為60°，AB₁=8，求點C₁到平面CMB₁的距離．

Answer 1

分析 （1）通過直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AC⊥C₁C，利用線面垂直的判定定理即可；
（2）通過題意易得二面角B-CA-M的平面角為∠BCB₁，過C₁作C₁N⊥CB₁交CB₁于N，則C₁N即為點C₁到平面CMB₁的距離，在Rt△CB₁C₁中利用面積的不同計算方法計算即可．

解答 （1）證明：由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)知AC⊥C₁C，
∵M為AB₁的中點，△CMB₁為等邊三角形，
∴MA=MB₁=MC，∴AC⊥CB₁，
又∵B₁C∩C₁C=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）解：由（1）知AC⊥平面BB₁C₁C，
∴BC⊥AC，BC₁⊥AC，
∴二面角B-CA-M的平面角為∠BCB₁，即∠BCB₁=60°，
在Rt△ACB₁中，∵AB₁=8，∴CM=CB₁=4，
又∵∠BCB₁=60°，∴BC=2，BB₁=$2\sqrt{3}$，
過C₁作C₁N⊥CB₁交CB₁于N，
∵AC⊥平面BB₁C₁C，且C₁N⊥CB₁，
∴C₁N即為點C₁到平面CMB₁的距離，
在Rt△CB₁C₁中，CC₁•C₁B₁=B₁C•C₁N，
∴C₁N=$\frac{C{C}_{1}•{C}_{1}{B}_{1}}{{B}_{1}C}$=$\frac{2\sqrt{3}×2}{4}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查二面角，空間中線面的位置關(guān)系、點到面的距離，三角形的面積計算公式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．