Question

18．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}$．
（1）求$\frac{c}{a}$的值．
（2）若△ABC的面積為$\sqrt{2}$，cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}$，利用正弦定理可得：$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC-sinA}{sinB}$，化簡可得sinC=$\sqrt{3}$sinA，再利用正弦定理即可得出．
（2）由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\sqrt{2}$，可得ac=2$\sqrt{3}$，與$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，聯(lián)立解得即可．

解答 解：（1）∵$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}=\frac{\sqrt{3}c-a}$，
由正弦定理可得：$\frac{cosA-\sqrt{3}cosC}{cosB}$=$\frac{\sqrt{3}sinC-sinA}{sinB}$，
化為sin（A+B）=$\sqrt{3}$sin（B+C），
∴sinC=$\sqrt{3}$sinA，
由正弦定理可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}ac×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{2}$，∴ac=2$\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，聯(lián)立解得c=$\sqrt{6}$，a=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理的應(yīng)用、和差公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．